Посоветуйте Android приложение для уведомлений.
 

Возможно такого даже не существует. Проблема такая, есть вэб-приложение, которое постоянно крутится у меня на десктопе в Chome браузере. Иногда оно может получать push сообщения. Я хочу чтобы это сообщение приходило ко мне или по emailу или на android приложение, не важно, я хочу знать через телефон когда мое приложение на десктопе в браузере получает push сообщение. Как это сделать?

Такое же приолжение как и на десктопе я не могу запустить на телефоне в браузере.

Возможно есть какие-нибудь windows-десктоп приложения, которые мониторят активность экрана, и, если что-то новое мелькнет, может отправить уведомление мне.

Без понимания того, как работает и что делает web-приложение конкретные советы по перехвату исходного пуша давать сложно. Но в качестве клиента на Android можно использовать telegram. У него есть API для публикации в чаты через всевозможные способы. Вообще говоря, большинство messenger'ов тоже имеют API и могут быть использованы подобным образом.