Решение:
Пусть A, B и C - точки, в которых погибли несчастные насекомые.
Искомая дырка H к A в два раза ближе, чем к B.
Геометрическое место точек (гмт) X, таких что |XB| = 2|XA| есть окружность (насколько я понял это одна из теорем Аполлония*).
Эту окружность легко построить "циркулем и линейкой": найдем на прямой AB точку D, такую, что |BD|=2|AD|. Для этого нужно только поделить отрезок на 3 части. Потом найдем точку E, такую что |AE|=|AB|, для нее тоже будет верно |BE|=2|AE|. Точки E и D будут лежать на искомой окружности. Дальше делим отрезок ED пополам - это будет центр окружности.
Точно так же строятся вторая окружность. Ищем точки F и G, такие что 3|AF|=|CF| и 3|AG|=|CG|, делим FG пополам и строим окружность.
В не вырожденных случаях окружности пересекаются в двух точках H и H' - искомых дырках. Возможные вырожденные случаи: окружности не пересекаются, или касаются в одной точке.
* ) теорему Аполлония доказать несколько сложнее, чем решить эту задачку. Аналитически (выписав уравнения) доказать просто. Чтобы доказать геометрически, без уравнений, пришлось повозиться.
А как заканчивается итеративное решение ? |
