Если оба родителя - граждане России, ребенок будет гражданином России. Для оформления ему и его матери вида на жительство в Финляндии, от отца, имеющего постоянный ВНЖ, требуется определенный гарантированный доход, чтобы содержать семью на территории Финляндии.
Если один из супругов- гражданин Финляндии, то для воссоединения семьи (получения ВНЖ женой) не требуется показывать определенный уровень доходов.
Если один из родителей - гражданин Финляндии, ребенок получит гражданство сразу. И личный номер. Соответственно, медобслуживание для ребенка будет бесплатным.
С присвоением ребенку российского гражданства разбирайтесь по соответствующим темам.
Впрочем, и с остальными вопросами. Наводки, что именно смотреть, я дала.
По вопросам пособий на ребенка - в КЕЛА. Там как раз что-то меняется по отпуску по уходу. Вроде, делят между родителями. Поэтому только туда за свежей и точной информацией. Причем спрашивайте каждую мелочь. Не спросите, вам не скажут. Возьмите ВСЕ пособия, предлагаемые там, дома проштудируйте и сходите еще раз (или не раз...).
ИМХО: бесплатные роды при отце с постоянкой, а матери с турвизой - нереально.
при отце с финским гражданством и матери с турвизой - сомнительно.
Но пробуйте. В Финляндии практикуется индивидуальный подход!